Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet: mit (siehe Mengen u. a.)

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, dabei wird der Graph der Funktion Normalparabel genannt. Der auffälligste Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel ist identisch mit dem tiefsten Punkt der Parabel. Bei einer nach unten geöffneten Parabel liegt der Scheitelpunkt im höchsten Punkt.
Um den Graphen einer quadratischen Funktion zu ermitteln, kann eine Wertetabelle, in der die berechneten Funktionswerte gesammelt werden, helfen.

Ist eine quadratische Funktion in der Form gegeben, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen: . Daher wird diese Darstellung quadratischer Funktionen auch Scheitelpunktform genannt. Auf das Minus in der Klammer aufpassen! Ist eine quadratische Funktion in ausmultiplizierter Form gegeben, muss sie erst in die obige Form gebracht werden, damit man den Scheitelpunkt ermitteln kann. Das Verfahren dazu heißt quadratische Ergänzung und beruht auf der Anwendung der 1. und 2. Binomischen Formel von rechts nach links. Das genaue Vorgehen wird an folgendem Beispiel erklärt:



Der Term innerhalb der runden Klammer soll mithilfe der 2. Binomischen Formel zusammengefasst werden zu . Das funktioniert aber nicht einfach so, denn
. Es stimmen zwar die ersten beiden Summanden überein, aber das Quadrieren mit der Binomischen Formel liefert eine als letzten Summanden und nicht eine . Bekanntermaßen gilt ja aber . Das fügt man in die obere Gleichung ein und erhält:



Nun hat man alle drei Summanden zusammen, um die 2. Binomische Formel von rechts nach links anwenden zu können, dabei bleibt die letzte in der Gleichung übrig:



Jetzt kann man den Scheitelpunkt ablesen. Er liegt bei

An der obigen Rechnung wurde bereits deutlich, dass der Scheitelpunkt einer Parabel nicht nur im Punkt liegen kann (wie bei einer Normalparabel), sondern in beliebigen anderen Punkten des Koordinatensystems. Man sagt auch: Die Parabel lässt sich in Abhängigkeit der Parameter und nach oben / unten / rechts / links verschieben. Der Ausgangspunkt für die folgenden Erläuterungen ist immer der Graph der Normalparabel, siehe folgendes Bild.

Es sei eine positive reelle Zahl, also
Die Funktion ist gegenüber der Normalparabel um Einheiten nach oben verschoben. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als dünne Linie eingezeichnet.
Die Funktion ist gegenüber der Normalparabel um Einheiten nach unten verschoben. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als Linie mit Sternchen eingezeichnet.

Die dicke Linie ist der Graph der Normalparabel.

Es sei eine positive reelle Zahl, also
Die Funktion ist gegenüber der Normalparabel um Einheiten nach rechts verschoben. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als dünne Linie eingezeichnet.
Die Funktion ist gegenüber der Normalparabel um Einheiten nach links verschoben. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als Linie mit Sternchen eingezeichnet.

Die dicke Linie ist der Graph der Normalparabel.

Es sei eine positive reelle Zahl, also . Dann ist die Parabel nach oben geöffnet.

Ist dabei größer als , also , dann wird die Parabel gestreckt, d. h. sie wird steiler. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als dünne Linie eingezeichnet.
Ist zwar positiv, aber kleiner als , also , dann wird die Parabel gestaucht, d. h. sie wird bauchiger. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als Linie mit Sternchen eingezeichnet.

Die dicke Linie ist der Graph der Normalparabel.

Es sei eine negative reelle Zahl, also . Dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Ist dabei kleiner als , also , dann wird die Parabel gestreckt, d. h. sie wird steiler. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als dünne Linie eingezeichnet.
Ist zwar negativ, aber größer als , also , dann wird die Parabel gestaucht, d. h. sie wird bauchiger. Der Graph einer solchen Parabel ist im folgenden Koordinatensystem als Linie mit Sternchen eingezeichnet.

Die dicke Linie ist der Graph der Funktion , also der nach unten geöffneten Normalparabel.

Selbstverständlich kann eine Parabel gleichzeitig nach oben / unten UND nach rechts / links verschoben UND gestreckt / gestaucht sein. Anders formuliert: Alle drei Parameter können in einer Parabelgleichung enthalten sein.

Um die Funktionsgleichung einer gegebenen Parabel zu ermitteln, ist folgender Weg zu empfehlen:

1. Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts aus der Grafik (Kleine Einschränkung: Ablesen aus einem Koordinatensystem ist kein mathematisch-exaktes Verfahren!)
2. Einsetzen der Koordinaten in die Scheitelpunktform der Parabel , dabei auf das Minus in der Klammer aufpassen: Damit sind und der Gleichung bestimmt.
3. Feststellen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel enthält ein positives , die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel ein negatives
4. Des Weiteren gilt ja nun: . Wenn man also bei der Normalparabel vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts geht, ist der Wert der Funktion ebenfalls um größer geworden. Diesen Zusammenhang nutzt man aus, um endgültig zu bestimmen: Man gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und stelle fest, wie sich der Funktionswert an dieser Stelle geändert hat. Dieser Faktor ergibt den Wert für .
5. Abschließend kann man den Term ausmultiplizieren.

Der gerade beschriebene Weg ist allerdings nur möglich, wenn bereits bekannt ist, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.

Beispiel