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Brückenkurs » 13 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Brückenkurs

Erklärungen

Die Exponentialfunktion

Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable als Exponent einer Konstanten auftritt: f(x)=a^x

mit $a\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $x\in\mathbb{R}$
Oder etwas allgemeiner: $f(x)=ca^{bx}$ mit $a\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ , $b,c \in\mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ und $x\in\mathbb{R}$

In vielen Fällen ist mit dem Begriff "Exponentialfunktion" die Funktion f(x)=e^x

gemeint, wobei

die eulersche Zahl ist. Dies ist aber keine Einschränkung, weil aufgrund der Logarithmengesetze: $a^x = e^{x\cdot\ln a}$ gilt. Es kann also jede Exponentialfunktion mit

als Basis dargestellt werden; ln(a)

ist nur eine Konstante.

Bemerkung: Bitte beachten Sie den Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktion: Während die unabhängige Variable bei der Exponentialfunktion im Exponenten steht, ist es bei Potenzfunktionen die Basis, die variabel ist: f(x)=x^n

mit $n\in\mathbb{Z}$ und $x\in\mathbb{R}$ (siehe z. B. Quadratische Funktionen)

In der folgenden Grafik sind die Funktionen f_1(x)=e^x

und

dargestellt.

f1(x)=e^x, f2(x)=2^x und f3(x)=10^x im Koordinatensystem

Aus der Grafik und den Eigenschaften von Potenzen im Allgemeinen kann man folgende Aussagen ableiten:

Definitionsbereich: Für den Definitionsbereich bei Exponentialfunktionen gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Wertebereich: Für den Wertebereich bei Exponentialfunktionen gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$
Symmetrie: Exponentialfunktionen sind nicht symmetrisch.
Randverhalten: Ist die Basis größer

gilt: Für sehr kleine x-Werte nähert sich der Graph der

an. Für sehr große x-Werte werden auch die Funktionswerte sehr groß. Bei Basen zwischen

und

verläuft die Funktion umgekehrt.
Monotonie: Exponentialfunktionen mit Basen größer

sind streng monoton wachsend; Exponentialfunktionen mit Basen zwischen

und

sind streng monoton fallend.
"Spezielle Punkte": Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen, Extrema, Wende- und Polstellen.
Sonstiges: Alle Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt $(0 \mid 1)$

Natürlich kann man auch Exponentialfunktionen verschieben, stauchen etc. Dann können sich die oberen Eigenschaften entsprechend ändern.

Anwendung:
Exponentialfunktionen beschreiben Vorgänge, bei denen sich in gleich großen Intervallen der Funktionswert um den gleichen Faktor ändert. Exponentielles Wachstum ist dabei immer schneller als polynomiales Wachstum.

Beispiele:

Wachstumvorgänge, z. B. bei Bakterien und Seerosen: Dann handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit einer Basis größer als
Zerfallsprozesse, z. B. bei radioaktiven Materialien: Hierbei tritt eine Exponentialfunktion mit einer Basis zwischen und auf.
Zinsentwicklung

Die Logarithmusfunktion

Definition: Eine Logarithmusfunktion ist eine Funktion, die jeder Zahl ihren Logarithmus zu einer festen Basis

zuordnet: $f(x)=\log_b(x)$ mit $b\in\mathbb{R}^+\backslash_{\{0\}}$ und $x\in\mathbb{R}^+$

Wegen der Möglichkeit der Basistransformation reicht es aus, wenn man die natürliche Logarithmusfunktion $f(x) =\ln(x)$ betrachtet.

In der folgenden Grafik sind die Funktionen $f_1(x)=\ln(x)$ , $f_2(x)=\text{ld}(x)$ und $f_3(x)=\lg(x)$ dargestellt.

log_2(x), ln(x) und log(x) im Koordinatensystem

Aus der Grafik und den Eigenschaften von Logarithmen im Allgemeinen kann man folgende Aussagen ableiten:

Definitionsbereich: Für den Definitionsbereich bei Logarithmusfunktionen gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$
Wertebereich: Für den Wertebereich bei Logarithmusfunktionen gilt: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Symmetrie: Logarithmusfunktionen sind nicht symmetrisch.
Randverhalten: Ist die Basis größer als

: x-Werte nahe der

haben sehr kleine Funktionswerte. Sehr große x-Werte haben auch sehr große Funktionswerte. Bei Basen, die zwischen

und

liegen, sind die Funktionswerte für x-Werte nahe der

sehr groß und für sehr große x-Werte sehr klein.
Monotonie: Logarithmusfunktionen mit b>1

sind streng monoton wachsend. Logarithmusfunktionen mit 0<b<1

sind streng monoton fallend.
"Spezielle Punkte": Logarithmusfunktionen haben keine Nullstellen, Extrema, Wende- und Polstellen.
Sonstiges: Alle Logarithmusfunktionen verlaufen durch den Punkt $(1 \mid 0)$

Natürlich kann man auch Logarithmusfunktionen verschieben, stauchen etc. Dann können sich die oberen Eigenschaften entsprechend ändern.

Anwendung:
Logarithmische Skalen bieten die Möglichkeiten, Größenordnungen relative präzise auf einmal darzustellen und zu überblicken, was z. B. wichtig ist bei stark wachsenden Zahlenreihen. Das liegt daran, dass

und

genau dann im selben Verhältnis stehen wie

und

, wenn die Differenzen ihrer Logarithmen übereinstimmen; als Formel: a:b = c:d

gilt genau dann, wenn $\log(a) - \log(b) = \log(c) - \log(d)$ (2. Logarithmengesetz). Logarithmen wachsen langsamer als jedes Polynom.

Und noch ein Link zu einem spannenden Artikel: Tief in uns schlummert der Logarithmus

Exponential- und Logarithmusgleichungen

Definition: Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten einer Potenz steht.
Sie lassen sich u. U. durch Logarithmieren der Gleichung lösen.
Definition: Logarithmusgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Argument eines Logarithmus' steht.
Sie lassen sich u. U. durch Exponentieren der Gleichung lösen.

Grundsätzlich hilfreich sind in diesem Zusammenhang auch die Potenz- und Logarithmengesetze.

Einige Exponential- und Logarithmengleichungen sind nur auf den ersten Blick wirklich schwierig. Häufig lassen sie sich nämlich mit wenigen Umformungen auf einfache Polynomgleichungen zurückführen. Allerdings muss anschließend immer geprüft werden, ob die gefundenen Ergebnisse tatsächlich im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegen, vor allem wenn ein Logarithmus in der Gleichung enthalten ist!
Andere Exponential- und Logarithmengleichungen lassen sich nicht exakt sondern nur numerisch lösen.

Eine Bemerkung zu den Beispielen: Mit $10^{-}$ hinter dem senkrechten Strich am Ende einer Zeile soll angedeutet werden, dass beide Seiten der Gleichung die Zahl

als Basis bekommen, also "

hoch" die entsprechenden Terme gerechnet wird. Mit $\ln()$ hinter dem senkrechten Strich am Ende einer Zeile ist gemeint, dass der natürliche Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung angewendet wird. Analog für andere Basen und andere Logarithmen.

Beispiele:
$\begin{array}{rclcl}\mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ 1{,}1^{x+1} &=& 1{,}2^x &\vert& \ln() \\ \ln\left(1{,}1^{x+1}\right) &=& \ln\left(1{,}2^x\right) &\vert& \text{3. Logarithmengesetz} \\ (x+1)\ln(1{,}1) &=& x\ln(1{,}2) &\vert& \text{ausmultiplizieren} \\ x\ln(1{,}1)+\ln(1{,}1) &=& x\ln(1{,}2) &\vert&\ -\ln(1{,}1)-x\ln(1{,}2) \\ x\ln(1{,}1)-x\ln(1{,}2) &=& -\ln(1{,}1) &\vert& \text{x ausklammern} \\ x\left(\ln(1{,}1)-\ln(1{,}2)\right) &=& -\ln(1{,}1) &\vert& \cdot \; \dfrac{1}{\ln(1{,}1)-\ln(1{,}2)} \\ x &=& -\dfrac{\ln(1{,}1)}{\ln(1{,}1)-\ln(1{,}2)} \\ \\ \mathbb{L} &=& \left\{-\dfrac{\ln(1{,}1)}{\ln(1{,}1)-\ln(1{,}2)}\right\} \end{array}$

Bemerkung 1: $\ln(1{,}1)$ und $\ln(1{,}2)$ sind einfach nur Zahlen, auch wenn es auf den ersten Blick vielleicht nicht so aussieht...
Bemerkung 2: $-\frac{\ln(1{,}1)}{\ln(1{,}1)-\ln(1{,}2)} \approx 1{,}095$ Warum ist das Ergebnis positiv, wo doch ein Minuszeichen vor dem Bruch steht? Ohne genaue Zahlenwerte für die Logarithmen zu ermitteln, kann man sich folgendes überlegen: Der natürliche Logarithmus ist eine streng monoton steigende Funktion. Das bedeutet, dass größere Argumente zu größeren Funktionswerten führen. Da $\ln(1)=0$ ist, muss $\ln(1{,}1)$ etwas größer als

sein. Außerdem muss $\ln(1{,}2)$ etwas größer als $\ln(1{,}1)$ sein. Daraus folgt, dass im Nenner des oberen Bruches eine negative Zahl steht. Da der Zähler positiv ist, ist der gesamte Bruch also negativ. Zusammen mit dem Minuszeichen davor ergibt sich also ein positiver Wert.
Bemerkung 3: Ob man lieber mit dem natürlichen Logarithmus oder einem Logarithmus zu einer anderen Basis rechnet, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& ]-1;\infty[ \\ \\ \ln(2x) &=& \ln(x+1) &\vert& e^{-} \\ e^{\ln(2x)} &=& e^{\ln(x+1)} \\ 2x &=& x+1 &\vert& -x \\ x &=& 1 \\ \\ \mathbb{L} &=& \{1\} \end{array}$

Bemerkung: Hier wurde genutzt, dass $\ln(x)$ und e^x

Umkehrfunktionen sind, d. h. sie sich in ihrer Wirkung aufheben. Daher ist hier die Wahl der Basis entscheidend, um die Gleichung in der oben gezeigten Weise zu vereinfachen. Nach dieser Umformung bleibt eine ziemlich simple lineare Gleichung.

$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ \ln(e^x) &=& \ln(2)+\ln(7)-\ln\left(\frac{1}{2}\right)+2\ln\left(2^{-1}\right) \\ x &=& \ln(2)+\ln(7)-\ln\left(\frac{1}{2}\right)+2\ln\left(2^{-1}\right) &\vert& \text{1., 2. und 3. Logarithmengesetz} \\ x &=& \ln\left(\frac{2\cdot 7\cdot \left(2^{-1}\right)^2}{\frac{1}{2}}\right) &\vert& \text{Potenzgesetze} \\ x &=& \ln\left(\frac{2\cdot 7\cdot 2}{2^2}\right) \\ x &=& \ln(7) \\ \\ \mathbb{L} &=& \left\{\ln(7)\right\} \end{array}$

Bemerkung: Da $\ln(x)$ und e^x

Umkehrfunktionen sind, vereinfacht sich die linke Seite der Gleichung sofort zu

. Auf der rechten Seite musste ohnehin nur zusammengefasst werden.

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