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Brückenkurs

Erklärungen

Dieses Kapitel zeigt einige weitere Funktionstypen, vor allem mit dem Ziel ihre typischen Verläufe und einige Eigenschaften deutlich zu machen. Allerdings werden diese Themen nur angerissen und nicht sehr tiefgehend behandelt.

Gebrochen rationale Funktionen

Definition: Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion von folgender Gestalt: $f(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_1x+b_0}$ mit $n\in \mathbb{N}$ , $m\in \mathbb{N}\backslash_{\{0\}}$ , $a_n,\dots, a_0, b_m,\dots, b_0\in \mathbb{R}$ und $b_m\neq 0$

Anders formuliert: Eine gebrochen rationale Funktion ist ein Quotient zweier Polynome, wobei der Grad des Polynoms im Nenner mindestens

sein muss.

Das Polynom im Zähler nennt man Zählerpolynom. Den Grad des Zählerpolynoms nennt man Zählergrad.
Das Polynom im Nenner nennt man Nennerpolynom. Den Grad des Nennerpolynoms nennt man Nennergrad.

Ganz wichtig: An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochen rationale Funktion nicht definiert, da sonst durch

geteilt werden würde. Hier muss also viel mehr auf den Definitionsbereich geachtet werden als bei linearen Funktionen und Polynomen.

In der folgenden Grafik sind die Graphen der (sehr einfachen) gebrochen rationalen Funktionen $f_1(x)=\frac{1}{x}$ und $f_2(x)=\frac{1}{x^3}$ jeweils mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ dargestellt. Solche Graphen nennt man Hyperbeln ungerader Ordnung.

Gemeinsame Punkte: Diese ganz einfachen Hyperbeln ungerader Ordnung (also alle Funktionen der folgenden Gestalt $f(x)=\frac{1}{x^n}$ mit $n\in \mathbb{N}\backslash_{\{0\}}$ und

ungerade) verlaufen alle durch die Punkte $(-1 \mid -1)$ und $(1 \mid 1)$
"Besondere Punkte": Diese Hyperbeln haben eine Polstelle bei x=0

, aber keine Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
Randverhalten: Die Funktionswerte nähern sich sowohl für sehr kleine als auch für sehr große x-Werte der

an (für weitere Informationen zum Randverhalten).
Symmetrie: Als Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten sind ihre Graphen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Wertebereich: Der Wertebereich umfasst sämtliche reellen Zahlen.

Analog dazu gibt es natürlich Hyperbeln gerader Ordnung. In der folgenden Grafik sind die Graphen von $f_3(x)=\frac{1}{x^2}$ und $f_4(x)=\frac{1}{x^4}$ auch jeweils mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\{0\}}$ dargestellt.

Gemeinsame Punkte: Diese ganz einfachen Hyperbeln gerader Ordnung (also alle Funktionen der folgenden Gestalt $f(x)=\frac{1}{x^n}$ mit $n\in \mathbb{N}\backslash_{\{0\}}$ und

gerade) verlaufen alle durch die Punkte $(-1\mid 1)$ und $(1 \mid 1)$
"Besondere Punkte": Diese Hyperbeln haben eine Polstelle bei x=0

, aber keine Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
Randverhalten: Die Funktionswerte nähern sich sowohl für sehr kleine als auch für sehr große x-Werte der

an.
Symmetrie: Als Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind ihre Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wertebereich: Der Wertebereich umfasst nur die positiven reellen Zahlen.

Weitere Beispiele für gebrochen rationale Funktionen:

$f_5(x)=\frac{x(x-1)(x+2)}{3(x-1)(x-4)}$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\{1; 4\}}$

$f_6(x)=\frac{20x^2-40}{(x^2+5)(x^2+1)}$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}$

$f_7(x)=\frac{x-\frac{1}{2}+6\left(x-\frac{1}{2}\right)((x+3)^4+2)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)((x+3)^4+2)}$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\left\{\frac{1}{2}\right\}}$

$f_8(x)=\frac{x-1}{(x-1)((x-1)^4-2)}$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\left\{1-\sqrt[4]{2}; 1; 1+\sqrt[4]{2}\right\}}$

2 gebrochen rationale Funktionen im Koordinatensystem

2 weitere gebrochen rationale Funktionen im Koordinatensystem

Sie sehen in den Grafiken, dass der Verlauf von komplexeren gebrochen rationalen Funktionsgraphen recht unterschiedlich sein kann.

"Besondere Punkte": Gebrochen rationale Funktionen können an den Nullstellen des Nennerpolynoms (also an den Definitionslücken) Polstellen haben oder auch nicht (das hängt davon ab, ob das Zählerpolynom an dieser Stelle auch eine Nullstelle hat). Eine gebrochen rationale Funktion kann Nullstellen haben und zwar an den Nullstellen des Zählerpolynoms. Allerdings muss eine Nullstelle des Zählerpolynoms nicht zwangsläufig eine Nullstelle der gesamten Funktion bewirken (das wiederum hängt davon ab, ob das Nennerpolynom an dieser Stelle eine Nullstelle hat). Ob eine gebrochen rationale Funktion Extrema und Wendepunkte hat, kann man nicht im Allgemeinen sagen.
Randverhalten: Ob sich die Funktionswerte für sehr kleine und sehr große x-Werte der

oder einer anderen reellen Zahl annähern oder sehr groß bzw. sehr klein werden, hängt vom Verhältnis von Zähler- zu Nennergrad ab.
Wertebereich: Der Wertebereich kann sämtliche reellen Zahlen oder nur Teilbereiche von ihnen umfassen.

Wichtige Bemerkung: Die Funktion $f_5(x)=\frac{x(x-1)(x+2)}{3(x-1)(x-4)}$ ist nicht identisch mit der Funktion $f(x)=\frac{x(x+2)}{3(x-4)}$ , da sich der Definitionsbereich ändert. Es darf also nicht einfach so gekürzt werden.

Wurzelfunktionen

Definition: Eine Wurzelfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable "unter einer Wurzel" steht, also $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n\in \mathbb{N}\backslash_{\{0; 1\}}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$ , da im Bereich der reellen Zahlen aus negativen Zahlen keine Wurzeln berechnet werden können.

Beispiele:

$f_1(x)=\sqrt{x}$

$f_2(x)=\sqrt[3]{x}$

$f_3(x)=\sqrt[4]{x}$

$f_4(x)=\sqrt[10]{x}$

Die Graphen sehen Sie in der nächsten Grafik.

Gemeinsamer Punkt: Diese einfachen Wurzelfunktionen verlaufen alle durch den Punkt $(1 \mid 1)$
"Besondere Punkte": Sie haben eine Nullstelle bei x=0

, aber keine Polstellen, Extrema und Wendepunkte.
Symmetrie: Aufgrund des eingeschränkten Definitionsbereichs können die Graphen von Wurzelfunktionen nicht symmetrisch sein.
Wertebereich: Der Wertebereich umfasst nur die nichtnegativen reellen Zahlen.

Wurzelfunktionen wachsen zwar langsamer als alle Polynomfunktionen, auch als f(x)=x

, aber immer noch schneller als Logarithmusfunktionen.

Betragsfunktionen

Definition: Eine Betragsfunktion ist eine Funktion, bei der auf einen Term, der die Variable enthält, ein Betrag angewendet wird.

In der folgenden Grafik sind die Funktionen

$f_1(x)=\left| x \right|$

$f_2(x)=\left| \frac{1}{2}x-1 \right|$

$f_3(x)=\left| 2x^2+\frac{119}{100}x+\frac{117}{100} \right|$

dargestellt.

3 Betragsfunktionen im Koordinatensystem

"Besondere Punkte": Bei einfachen Betragsfunktionen sind alle Nullstellen zugleich Minima.
Wertebereich: Der Wertebereich umfasst nur die nichtnegativen reellen Zahlen.
Sonstiges: Typisch für eine Funktion, die einen Betrag enthält, ist ein "Knick" im Funktionsgraphen, der sich ergibt, wenn die Ursprungsfunktion (also die Funktion ohne den Betrag) positive und negative Funktionswerte hatte. Auf diesen "Knick" muss z. B. bei der Differenzialrechnung besonders geachtet werden.

Abschließendes

Sowohl Wurzel- als auch Betragsfunktionen können nach oben/unten und links/recht verschoben sowie gestreckt oder gestaucht werden, so wie Sie das von Parabeln kennen. Dann ändern sich natürlich auch die oben aufgeführten Eigenschaften und speziellen Punkte entsprechend. Betrachten Sie bespielsweise die Funktion $f(x)=\vert x \vert -1$ (siehe folgende Grafik): Obwohl ein Betrag enthalten ist, gilt $\mathbb{W}= \; [-1; \infty[$ . Außerdem hat die Nullstellen bei x_1=-1

und

, ihr Minimum allerdings bei x=0

. Das liegt daran, dass der Betrag nicht den gesamten Funktionsterm umfasst.

1 verschobene Betragsfunktion im Koordinatensystem

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