Allgemeine Darstellung eines Polynoms: , mit , und (siehe Mengen u. a.)

heißen Koeffizienten des Polynoms.
heißt Grad des Polynoms. ist aber nur dann tatsächlich der Grad des Polynoms, wenn ist.

Bemerkung 1: Polynome werden auch als ganz rationale Funktionen bezeichnet. Natürlich können sie auch heißen.
Bemerkung 2: Da die Koeffizienten in Polynomen Elemente der reellen Zahlen sind, sind selbstverständlich auch Bruchzahlen als Koeffizienten möglich. Die Variable in einem Polynom darf aber nicht im Nenner eines Bruches stehen.
Bemerkung 3: Bei klassischen Polynomen kommen als Definitionsbereich üblicherweise die gesamten reellen Zahlen infrage.

Beispiele
: Hier sind die Koeffizienten: , , und . Der Grad ist .
: Hier sind die Koeffizienten: , , , und . Der Grad ist , da der Koeffizient von ist.

Einige häufig auftretende Polynome haben spezielle Bezeichnungen:

• Konstante Polynome: mit , konstant
• Lineare Polynome: mit
• Quadratische Polynome: mit
• Kubische Polynome: mit
• Biquadratische Polynome: mit Bitte beachten: Bei biquadratischen Polynomen dürfen außer dem konstanten Summanden nur die Potenzen und einen Koeffizienten haben, der ungleich ist.

Bemerkung 1: Nur bei linearen, quadratischen und biquadratischen Polynomen existieren einfache Lösungsalgorithmen zur Berechnung von Nullstellen. Bei Polynomen dritten, vierten oder höheren Grades kann das Finden von Nullstellen sehr aufwändig bzw. nur noch näherungsweise möglich sein.
Bemerkung 2: Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ist im Bereich der reellen Zahlen () maximal so groß wie der Grad des Polynoms. Polynome ungeraden Grades haben immer mindestens eine Nullstelle. Beispiele: Ein Polynom zweiten Grades kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Ein Polynom dritten Grades kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben.

Ein Parameter ist eine spezielle Variable. Sie unterscheidet sich von "normalen" Variablen dadurch, dass sie in einer Rechnung als konstant angenommen wird. Man kann in der Rechnung den Parameter wie eine Zahl behandeln - nur dass man nicht weiß, um welche Zahl es sich genau handelt.

Bitte beachten Sie: Bei den folgenden Ausführungen fehlen größtenteils die mathematischen Begründungen, da diese über den Umfang des Brückenkurses hinausgehen. Sie werden sich im Studium mit diesen auseinandersetzen.

Polynome mit ausschließlich geraden Exponenten (auch "gerade Polynome" genannt) sind achsensymmetrisch zur y-Achse, da solche Polynome die Bedingung für Achsensymmetrie zur y-Achse immer erfüllen.

Polynome mit ausschließlich ungeraden Exponenten (auch "ungerade Polynome" genannt) sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da solche Polynome die Bedingung für Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung immer erfüllen.

Polynome mit beliebigen Exponenten sind weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, können aber zu anderen Geraden bzw. Punkten symmetrisch sein.


In der folgenden Grafik sind die Funktionen (gerades Polynom), (ungerades Polynom) und dargestellt. Bitte beachten Sie: . Damit ist kein Polynom mit ausschließlich ungeraden Exponenten und entsprechend nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Es ist allerdings punktsymmetrisch zum Punkt

Diese Erklärungen gehen davon aus, dass die Polynomfunktionen für die gesamten reellen Zahlen, also von bis , definiert sind. Da beim Randverhalten (wie der Name schon sagt) nur das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs interessiert, wird hier nichts über den Verlauf "dazwischen" ausgesagt.

Bei Polynomen geraden Grades sind zwei Verläufe denkbar: Entweder liefern sowohl sehr kleine x-Werte als auch sehr große x-Werte sehr große Funktionswerte oder sowohl sehr kleine x-Werte als auch sehr große x-Werte liefern sehr kleine Funktionswerte. "Sehr klein" bedeutet dabei, dass es sich um negative Zahlen mit einem sehr großen Betrag handelt.
Welche der beiden Varianten vorliegt, hängt davon ab, welches Vorzeichen der Koeffizient der höchsten Potenz hat. Ist dieser Koeffizient positiv, folgt die Funktion dem ersten beschriebenen Verlauf, bei einem negativen Koeffizienten dem zweiten Verlauf.


In der folgenden Grafik sind die Funktionen und abgebildet.

Auch für Polynome ungeraden Grades gibt es zwei mögliche Verläufe: Ist der Koeffizient der höchsten Potenz positiv, sind die Funktionswerte für sehr kleine x-Werte ebenfalls sehr klein. Die Funktionswerte für sehr große x-Werte werden sehr groß. Bei einem negativen Koeffizienten der höchsten Potenz sind die Funktionswerte für sehr kleine x-Werte sehr groß und für sehr große x-Werte sehr klein.

In der folgenden Grafik sind die Funktionen und zu sehen.

Grundsätzlich gilt: Polynome vom Grad haben im Bereich der reellen Zahlen maximal Nullstellen.


In der Grafik sind verschiedene Varianten der Funktion dargestellt. Abhängig von der Konstanten, die zu diesem Funktionsterm addiert wird, ändert sich die Zahl der Nullstellen:

• Die oberste der abgebildeten Funktionen hat keine Nullstellen.

• Die an zweiter Stelle abgebildete Funktion hat vier Nullstellen.

• Die an dritter Stelle abgebildete Funktion hat drei Nullstellen.

• Die unterste der abgebildeten Funktionen hat zwei Nullstellen.

Polynome ungeraden Grades haben mindestens eine Nullstelle. Wenn Sie sich an das Randverhalten von Polynomen ungeraden Grades erinnern, dürfte dies anschaulich klar sein.


In der folgenden Grafik sind verschiedene Varianten der Funktion dargestellt. Abhängig von der Konstanten, die zum Funktionsterm addiert wird, ändert sich auch hier die Zahl der Nullstellen. Allerdings bewirkt keine Konstante, dass die Funktion vollständig über oder vollständig unter der x-Achse liegt:

• Die oberste der abgebildeten Funktionen hat eine Nullstelle.

• Die mittlere der abgebildeten Funktionen hat zwei Nullstellen.

• Die unterste der abgebildeten Funktionen hat drei Nullstellen.

Polynome vom Grad haben im Bereich der reellen Zahlen maximal Extrema.

Allgemein lässt sich zur Lage von Extrema sagen, dass zwischen zwei Maxima immer ein Minimum und zwischen zwei Minima immer ein Maximum liegen muss. Zwischen zwei Nullstellen muss sich immer ein Extremum befinden (Dies gilt mit Ausnahme der Funktion ). Umgekehrt liegt ein Extremum aber nicht immer automatisch zwischen zwei Nullstellen.

Bei Polynomen geraden Grades existiert mindestens ein Extremum.

Polynome vom Grad haben im Bereich der reellen Zahlen maximal Wendepunkte.

Klar ist: Zwischen zwei Extrema muss sich immer ein Wendepunkt befinden. Allerdings müssen Wendepunkte nicht zwischen Extrema liegen.

Polynome ungeraden Grades haben mindestens einen Wendepunkt.


In der folgenden Grafik sind die Funktionen ( Nullstelle, Extrema, Wendepunkt) und ( Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) dargestellt.

Polynome haben keine Polstellen.