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Lösungen

1. Aufgabe

1) Grad

2) Grad

3) Grad

4) Grad

5) Grad

6) Grad

Bemerkung: Der Grad ist hier

und nicht

, weil der Koeffizient von x^7

ist.

2. Aufgabe

1) Es handelt sich um ein quadratisches Polynom.

2) Es handelt sich um ein konstantes Polynom.

3) Es handelt sich um ein biquadratisches Polynom.

4) Es handelt sich um ein lineares Polynom.

5) Es handelt sich um ein kubisches Polynom.

6) Es handelt sich um ein Polynom 4. Grades. Dieses Polynom ist aber nicht biquadratisch, weil der Summand

enthalten ist.

7) Es handelt sich um ein lineares Polynom.

3. Aufgabe

Eine Bemerkung vorab: Bei den Musterlösungen zu diesen Aufgaben wurden weniger Zwischenschritte angegeben als in den vorherigen Kapiteln. Dies soll der Vorbereitung auf spätere Musterlösungen dienen, die häufig sehr viel knapper gehalten sind. Beispielsweise wurde statt -(-5)

gleich

geschrieben oder bei $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ der mittlere Umformungsschritt weggelassen. Selbstverständlich sind alle für die Lösung essentiellen Schritte enthalten und kommentiert. Zu Übungszwecken sollten Sie sich die fehlenden Schritte selbstständig erarbeiten. Wenn Sie dabei Schwierigkeiten haben, können Sie im Kapitel "Quadratische Gleichungen" nachschauen. Die Lösungswege dort sind ausführlicher.
Für Infos zum Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt

1)
$\begin{array}{crclcl} & \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ & x^3-5x^2-6x &=& 0 & \vert & \mbox{ausklammern} \\ & x(x^2-5x-6) &=& 0 & \vert & \mbox{Satz vom Nullprodukt} \\ \mbox{1. Faktor} & x &=& 0 \\ \mbox{2. Faktor} & x^2-5x-6 &=& 0 \end{array}$

Beim 2. Faktor kann die p-q-Formel angewendet werden:
$\begin{array}{rclcl} x_{1,2} &=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2+6} \\ &=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \\ &=& \frac{5}{2} \pm \frac{7}{2} \\ \\ x_1 &=& \frac{5}{2}+ \frac{7}{2} = 6 \\ x_2 &=& \frac{5}{2}- \frac{7}{2} = -1 \\ \\ \mathbb{L} &=& \{-1;0;6\} \end{array}$

2)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ \frac{1}{3}x^4+12 &=& 0 & \vert & -12 \\ \frac{1}{3}x^4 &=& -12 & \vert & \cdot 3 \\ x^4 &=& -36 \\ \\ \mathbb{L} &=& \emptyset\end{array}$

Bemerkung: Da im Bereich der reellen Zahlen aus negativen Zahlen auch keine 4. Wurzeln gezogen werden können ( x^4

ist immer positiv), ist diese Gleichung nicht lösbar.

3)
$\begin{array}{crclcl} & \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ & \left(x^2-1\right)^2 &=& x^3+1 \\ & x^4-2x^2+1 &=& x^3+1 &\vert& -x^3-1 \\ & x^4-x^3-2x^2 &=& 0 &\vert& \mbox{ausklammern} \\ & x^2(x^2-x-2) &=& 0 &\vert& \mbox{Satz vom Nullprodukt} \\ \mbox{1. Faktor} & x^2 &=& 0 & & \Rightarrow x=0 \\ \mbox{2. Faktor} & x^2-x-2 &=& 0 \end{array}$

Beim 2. Faktor kann die p-q-Formel angewendet werden:
$\begin{array}{rclcl} x_{1,2} &=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{1}{2} \right)^2+2} \\ &=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\ &=& \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \\ \\ x_1 &=& \frac{1}{2}+ \frac{3}{2} = 2 \\ x_2 &=& \frac{1}{2}- \frac{3}{2} = -1 \\ \\ \mathbb{L} &=& \{-1;0;2\} \end{array}$

4)
$\begin{array}{crclcl} & \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ & 2x^3-4x^2+6x &=& 0 & \vert & \mbox{ausklammern} \\ & x(2x^2-4x+6) &=& 0 & \vert & \mbox{Satz vom Nullprodukt} \\ \mbox{1. Faktor} & x &=& 0 \\ \mbox{2. Faktor} & 2x^2-4x+6 &=& 0 & \vert & :2 \\ & x^2-2x+3 &=& 0 \end{array}$

Beim 2. Faktor kann die p-q-Formel angewendet werden:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& \frac{2}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{2}{2} \right)^2-3} \\ &=& 1 \pm \sqrt{-2} \\ \\ \mathbb{L} &=& \{0\} \end{array}$

Bemerkung: Da im Bereich der reellen Zahlen aus negativen Zahlen keine Wurzeln gezogen werden können, liefert der 2. Faktor keine weiteren Lösungen.

5)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ 3x^4-48 &=& 0 & \vert & +48 \\ 3x^4 &=& 48 & \vert & : 3 \\ x^4 &=& 16 & \vert & \pm \sqrt[4]{} \\ \\ x_1 &=& 2 \\ x_2 &=& -2 \\ \\ \mathbb{L} &=& \{-2;2\} \end{array}$

6)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ x^{10}-56x^5+768 &=& 0 \end{array}$

In dieser Gleichung kann substituiert werden: x^5=z

$\begin{array}{rclcl} \left(x^5\right)^2-56x^5+768 &=& 0 \\ z^2-56z+768 &=& 0 &\vert& \mbox{p-q-Formel} \\ z_{1,2} &=& \frac{56}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{56}{2}\right)^2-768} \\ &=& 28 \pm \sqrt{16} \\ &=& 28 \pm 4 \\ \\ z_1 &=& 28+4 = 32 \\ z_2 &=& 28-4 = 24 \end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rcrclcrcl} z_1 &=& x_1^5 &=& 32 &\Rightarrow& x_1 &=& 2 \\ z_2 &=& x_2^5 &=& 24 &\Rightarrow& x_2 &=& \sqrt[5]{24} \end{array}$

$\mathbb{L} = \left\{\sqrt[5]{24}, 2\right\}$

Bemerkung: Die Substitution ist ein übliches mathematisches Verfahren, wenn z. B. in einer Gleichung viele Terme enthalten sind, die "Varianten" eines Ausgangsterms (hier x^5

) sind. Durch die Substitution wird für diesen Ausgangsterm eine neue Bezeichnung eingeführt (hier

). Dadurch vereinfacht sich die Gleichung für die Berechnung der Lösung (hier entsteht eine "normale" quadratische Gleichung, die mithilfe der p-q-Formel gelöst werden kann). Im Anschluss muss die Substitution rückgängig gemacht werden, da ja Lösungen für

und nicht für

gesucht waren.

7)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R}\backslash_{\{0\}} \\ \\ -\frac{2y}{9}\left(1+\frac{1}{3y}\right) &=& -y^2 \\ -\frac{2y}{9}-\frac{2y}{9} \cdot \frac{1}{3y} &=& -y^2 \\ -\frac{2y}{9} -\frac{2}{27} &=& -y^2 &\vert& +y^2 \\ y^2-\frac{2y}{9} -\frac{2}{27} &=& 0 &\vert& \mbox{p-q-Formel} \\ y_{1,2} &=& \frac{1}{9} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{9}\right)^2 +\frac{2}{27}} \\ &=& \frac{1}{9} \pm \sqrt{\frac{7}{81}} \\ &=& \frac{1}{9} \pm \frac{\sqrt{7}}{9} \\ \\ x_1 &=& \frac{1+\sqrt{7}}{9} \\ x_2 &=& \frac{1-\sqrt{7}}{9} \\ \\ \mathbb{L} &=& \left\{\frac{1-\sqrt{7}}{9}, \frac{1+\sqrt{7}}{9}\right\} \end{array}$

Bemerkung: Ist

eine Lösung dieser Gleichung? Auf den ersten Blick könnte man dies denken, denn auf der rechten Seite ist -y^2=0

für

. Auf der linken Seite wird der 1. Faktor $-\frac{2y}{9}=0$ für y=0

. Allerdings kann der Satz vom Nullprodukt auf der linken Seite dieser Gleichung nicht angewendet werden, weil im 2. Faktor

im Nenner steht und damit für y=0

nicht definiert ist.

darf also nicht im Definitionsbereich enthalten sein und kommt auch nicht als Lösung infrage.

8)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R}\backslash_{\{-5\}} \\ \\ 2-\frac{x-4}{x+5} &=& \left(\frac{x-4}{x+5}\right)^2 \\ 2-\frac{x-4}{x+5} &=& \frac{(x-4)^2}{(x+5)^2} &\vert& \cdot (x+5)^2 \\ 2(x+5)^2-(x-4)(x+5) &=& (x-4)^2 \\ 2x^2+20x+50-x^2-x+20 &=& x^2-8x+16 \\ x^2+19x+70 &=& x^2-8x+16 &\vert& -x^2+8x-16 \\ 27x &=& -54 \\ x &=& -2 \\ \\ \mathbb{L} &=& \{-2\} \end{array}$

9)
$\begin{array}{crclcl} & \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ & 11x^3+5x^5+2x &=& 0 &\vert& \mbox{ausklammern} \\ & x(5x^4+11x^2+2) &=& 0 &\vert& \mbox{Satz vom Nullprodukt} \\ \mbox{1. Faktor} & x &=& 0 \\ \mbox{2. Faktor} & 5x^4+11x^2+2 &=& 0 \end{array}$

Der 2. Faktor ist ein biquadratischer Term. Daher kann hier substituiert werden: x^2=z

$\begin{array}{rclcl} 5x^4+11x^2+2 &=& 0 \\ 5\left(x^2\right)^2+11x^2+2 &=& 0 \\ 5z^2+11z+2 &=& 0 &\vert& \cdot \frac{1}{5} \\ z^2+\frac{11}{5}+\frac{2}{5} &=& 0 &\vert& \mbox{p-q-Formel} \\ z_{1,2} &=& -\frac{11}{10} \pm \sqrt{\left(\frac{11}{10}\right)^2 -\frac{2}{5}} \\ &=& -\frac{11}{10} \pm \sqrt{\frac{81}{100}} \\ &=& -\frac{11}{10} \pm \frac{9}{10} \\ \\ z_1 &=& -\frac{11}{10}+\frac{9}{10} = -\frac{1}{5} \\ z_2 &=&-\frac{11}{10}-\frac{9}{10} = -2 \end{array}$

Rücksubstitution:
$\begin{array}{rcrcl} z_1 &=& x_1^2 &=& -\frac{1}{5} \\ z_2 &=& x_2^2 &=& -2 \end{array}$
Diese beiden Gleichungen sind im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar. Es gibt also keine weiteren Lösungen.

$\mathbb{L} = \{0\}$

10)
$\begin{array}{rclcl} \mathbb{D} &=& \mathbb{R} \\ \\ 3x^{2n} &=& 2x^{2n-1}+x^{2n-1} \\ 3x^{2n} &=& 3x^{2n-1} &\vert& \cdot x^{-(2n-1)} \\ 3x^{2n-(2n-1)} &=& 3x^{2n-1-(2n-1)} \\ 3x^1 &=& 3x^0 \\ 3x &=& 3 &\vert& \cdot \frac{1}{3} \\ x &=& 1 \end{array}$

Das ist aber nicht die vollständige Lösung der Gleichung. Warum nicht? Die Multiplikation mit $x^{ -(2n-1)}$ ist nur dann erlaubt, wenn $x^{-(2n-1)} \neq 0$ ist. Andernfalls ist es keine Äquivalenzumformung. Da der Definitionsbereich aber die Menge der reellen Zahlen ohne Einschränkungen ist, muss noch geprüft werden, ob die Zahl

die Gleichung erfüllt:
$\begin{array}{rclcl} 3 \cdot 0^{2n} &=& 2 \cdot 0^{2n-1}+0^{2n-1} \\ 3 \cdot 0 &=& 2 \cdot 0+0 \\ 0 &=& 0 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage.

ist also auch Lösung der Gleichung.
$\mathbb{L} = \{0;1\}$

4. Aufgabe

Um einen Funktionsgraphen zu zeichen, kann eine Wertetabelle helfen. Diese sind in der Musterlösung nicht angegeben.
Zu den Eigenschaften, die in diesen Zusammenhang interessieren, zählen: Achsen- bzw. Punktsymmetrie, das Randverhalten, die mögliche Anzahl von Nullstellen etc.

Bemerkung: Achten Sie jeweils auf die Skaleneinteilung der Koordinatensysteme! Diese sollte immer so gewählt werden, dass der charakteristische Teil des Graphen dargestellt wird. Dort, wo es sinnvoll ist, sind die Funktionen in den folgenden Aufgaben doppelt dargestellt - einmal in einem Koordinatensystem, in dem die Achsen jeweils den Zahlenbereich von

bis

umfassen (zur besseren Vergleichbarkeit), und einmal mit einer auf die Funktion angepassten Achseneinteilung.

1) f(x)=-x^3+5x^2-x+5

Symmetrie: Als Polynom, das sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält, ist f(x)

weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Randverhalten: Als Polynom ungeraden Grades, bei dem die höchste Potenz einen negativen Koeffizienten hat, sind die Funktionswerte bei sehr kleinen x-Werten sehr groß und bei sehr großen x-Werten sehr klein.
Nullstellen: Als Polynom ungeraden Grades hat f(x)

mindestens eine Nullstelle. Maximal kann es drei Nullstellen geben.
Sonstiges: Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0 \mid 5)$

Symmetrie: Als Polynom, das sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthält, ist f(x)

weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Wenn man nur die Zeichnung betrachtet, könnte man denken, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Man muss wirklich genau schauen (vor allem, wenn die Skaleneinteilung an den Achsen nicht optimal gewählt wurde), um zu erkennen, dass dem nicht so ist. Deswegen ist eine rechnerische oder argumentative Lösung in vielen Fällen besser als eine zeichnerische.
Randverhalten: Als Polynom geraden Grades, bei dem die höchste Potenz einen positiven Koeffizienten hat, sind die Funktionswerte sowohl bei sehr kleinen als auch bei sehr großen x-Werten sehr groß.
Nullstellen: f(x)

kann keine, eine, zwei, drei oder vier Nullstellen haben.
Sonstiges: Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0 \mid 0)$ . Dieser Punkt ist zugleich Nullstelle der Funktion.

Symmetrie: Als Polynom, das nur gerade Exponenten enthält, ist f(x)

achsensymmetrisch zur y-Achse.
Randverhalten: Als Polynom geraden Grades, bei dem die höchste Potenz einen positiven Koeffizienten hat, sind die Funktionswerte sowohl bei sehr kleinen als auch bei sehr großen x-Werten sehr groß.
Nullstellen: f(x)

kann keine, eine, zwei, drei oder vier Nullstellen haben.
Sonstiges: Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0\mid -9)$ . Daher und weil die Parabel nach oben geöffnet ist (der Koeffizient vor x^4

ist positiv), muss es mindestens zwei Nullstellen geben. Vom Punkt $(0\mid -9)$ ausgehend schneidet der Graph die x-Achse nämlich einmal im positiven und einmal im negativen Bereich. Weiter kann man argumentieren, dass es nicht drei Nullstellen geben kann, weil die Funktion dann nicht achsensymmetrisch zur y-Achse wäre. Drei Nullstellen und Achsensymmetrie zur y-Achse gemeinsam sind nur dann möglich, wenn eine Nullstelle im Punkt $(0 \mid 0)$ liegt. Der Punkt $(0\mid 0)$ kann aber nicht Teil des Graphen sein, wenn der Punkt $(0\mid -9)$ auf dem Graph liegt. Vier Nullstellen sind ebenfalls nicht möglich, da dann die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine x-Werte nicht sehr groß, sondern sehr klein werden würden. Denn der Graph verläuft ja vom Punkt $(0\mid -9)$ "nach oben". Um mehr als zwei Nullstellen zu haben, müsste er wieder "nach unten abbiegen".

Bemerkung: Wenn Sie sich die Argumentation zur Anzahl der Nullstellen veranschaulichen wollen, können viele kleine Skizzen helfen. Z. B. können Sie in einem Koordinatensystem den Punkt $(0\mid -9)$ markieren und dann versuchen Graphen zu zeichnen, die zwei, drei oder vier Nullstellen haben und den übrigen Kriterien entsprechen, also achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. nach oben geöffnet sind.

Symmetrie: Als Polynom, das nur ungerade Exponenten enthält, ist f(x)

punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Randverhalten: Als Polynom ungeraden Grades, bei dem die höchste Potenz einen positiven Koeffizienten hat, sind die Funktionswerte bei sehr kleinen x-Werten auch sehr klein und bei sehr großen x-Werten sehr groß.
Nullstellen: Als Polynom ungeraden Grades hat f(x)

mindestens eine Nullstelle. Maximal kann es fünf Nullstellen geben.
Sonstiges: Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0 \mid 0)$ . Dieser Punkt ist zugleich Nullstelle der Funktion.

Symmetrie: Als Polynom, das nur gerade Exponenten enthält, ist f(x)

achsensymmetrisch zur y-Achse.
Randverhalten: Als Polynom geraden Grades, bei dem die höchste Potenz einen negativen Koeffizienten hat, sind die Funktionswerte sowohl bei sehr kleinen als auch bei sehr großen x-Werten sehr klein.
Nullstellen: f(x)

kann keine, eine, zwei, drei, vier, fünf oder sechs Nullstellen haben.
Sonstiges: Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0 \mid 7)$ . Daher und weil die Parabel nach unten geöffnet ist (der Koeffizient vor x^6

ist negativ), muss es folglich mindestens zwei Nullstellen geben. Weiter kann man argumentieren, dass es nicht drei oder fünf Nullstellen geben kann, weil die Funktion dann nicht achsensymmetrisch zur y-Achse wäre. Eine ungerade Anzahl Nullstellen und Achsensymmetrie zur y-Achse gemeinsam sind nur dann möglich, wenn eine Nullstelle im Punkt $(0 \mid 0)$ liegt. Der Punkt $(0 \mid 0)$ kann aber nicht Teil des Graphen sein, wenn der Punkt $(0 \mid 7)$ auf dem Graph liegt. Vier Nullstellen sind ebenfalls nicht möglich, da dann die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine x-Werte nicht sehr klein, sondern sehr groß werden würden.

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