Zunächst ein paar "Vokabeln":

Die Berechnung von Integralen nennt man Integration.

In (gesprochen: "Integral von a bis b über f von x dx" oder "Integral von a bis b über f von x nach dx") heißt / heißen

• das Integralzeichen.
• die Zahlen und Integrationsgrenzen. Genauer: ist die untere Integrationgrenze, die obere. In unserem Fall handelt es sich um reelle Zahlen, später können die Integrationsgrenzen auch aus anderen Zahlenbereichen stammen.
• die zu integrierende Funktion Integrand.
• die Variable Integrationsvariable. Ist (wie hier) die Integrationsvariable , spricht man auch von der Integration über . Natürlich kann man statt auch andere Integrationsvariablen verwenden. Man sollte dann nur aufpassen, dass der Name nicht schon an andere Stelle (z. B. bei den Integrationsgrenzen) verwendet wird. Sonst wird die ganze Sache mehrdeutig...
• das Differential. Mit diesem Begriff muss man ein bisschen vorsichtig sein, da er auch in anderen Kontexten und z. T. mit anderer Bedeutung verwendet wird. In diesem Zusammenhang ist es ein symbolischer Bestandteil der Notation, der angibt, über welche Variable integriert wird. Dies ist z. B. dann wichtig, wenn Parameter in der Funktionsgleichung enthalten sind.

Wichtig: Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist integrierbar.
Der Begriff "Stetigkeit" wurde im Rahmen dieses Brückenkurses nicht weiter definiert. Für uns reicht hier das "Alltagsverständnis" von Stetigkeit, nämlich dass die Funktion ohne abzusetzen von bis durchgezeichnet werden kann. Sie darf (sehr unmathematisch formuliert) also keine Unterbrechungen, Lücken, Sprünge o. ä. haben. "Knicke" wie bei der Betragsfunktion sind hingegen kein Problem. Zusätzlich ist wichtig, dass es sich um ein abgeschlossenes Intervall handelt; offene oder halboffene Intervalle sind hier nicht möglich.
Allerdings ist die Berechnung von Integralen - im Gegensatz zum Ableiten - auch schon bei relativ einfachen Funktionen nicht immer elementar möglich - und selbst wenn, ist sie nicht immer einfach, u.a. weil kein allgemeingültiger Algorithmus, also kein "Rezept", dafür existiert. Um Integrale zu bestimmen, muss man aus einer Vielzahl von möglichen Wegen den finden, der zum Ziel führt. Mögliche Wege sind die Anwendung der Integrationsregeln (Ähnliches kennt man vom Ableiten), Rückführen der gesuchten Integrale auf Grundintegrale, Nachschlagen in Integraltafeln oder die Nutzung spezieller Software. Häufig hilft trotzdem nur geschicktes Raten oder eine auf der ersten Blick eher abwegige Idee. Daher gilt: Mehr noch als bei anderen Themen ist hier viel, viel Üben nötig...

Definition: Gilt , so ist eine Stammfunktion der Funktion
Die Formulierung "eine Stammfunktion" deutet schon darauf hin, dass es zu einer Funktion viele Stammfunktionen gibt. Die Menge aller Stammfunktionen nennt man unbestimmtes Integral der Funktion und schreibt mit der Konstanten
ist die sogenannte Integrationskonstante. Sie ist deswegen wichtig, weil zwei Funktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden, die gleiche Ableitung haben. Anders formuliert: Beim Ableiten fällt die Konstante weg. Bei der Umkehrung des Ableitens kann dann nicht mehr ohne Weiteres bestimmt werden, welche Konstante in der Ursprungsfunktion möglicherweise enthalten war. Da die Konstante in inhaltlichen Zusammenhängen aber wichtig werden kann, darf man sie nicht einfach "unter den Tisch fallen lassen". Also nimmt man eine allgemeine Konstante

Ganz wichtig: Die Stammfunktion / das unbestimmte Integral einer Funktion ist wieder eine Funktion bzw. eine Menge von Funktionen!

Bemerkung: So wie man die Ableitung einer Funktion mit einen hochgestellten Strich an der Funktionsbezeichnung kennzeichnet (die Ableitung von heißt i. A. ), nennt man Stammfunktionen üblicherweise (gesprochen: "groß f von x"), wenn die Funktion heißt. Hält man sich an diese Konvention, wird bereits durch die Bezeichnungen deutlich, in welchem Verhältnis die Funktionen zueinander stehen.

Die Integralrechnung kann dazu genutzt werden, Flächen zu berechnen. Das ist ja wahrscheinlich genau das, woran die Meisten denken, wenn sie das Wort "Integral" hören. Die Bedeutung der Integralrechnung geht aber weit über diesen Bereich hinaus. Bleibt man bei der Flächenberechnung, kann man noch etwas genauer sagen: Man verwendet die Integralrechnung, um krummlinig begrenzte Flächen (in unserem Fall: der Ebene) zu berechnen. Gradlinig begrenzte Flächen der Ebene, z. B. von Quadraten, Rauten oder Dreiecken, können mithilfe der Geometrie bestimmt werden. Bei einigen krummlinig begrenzten Flächen, wie vom Kreis oder von Kreissegmenten, funktioniert dies auch so. Werden die Flächen komplizierter, gibt es keine geschlossenen Formeln mehr, sodass die Integralrechnung zum Zuge kommt.

Im Unterschied zum "geometrischen" Weg liefert die Integralrechnung einen sogenannten orientierten Flächeninhalt. Das bedeutet, dass Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, negativ zählen. Das bestimmte Integral gibt also nicht direkt den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse bezogen auf ein bestimmtes, abgeschlossenes Intervall an, sondern ein Art Flächenbilanz, also die Summe aus den positiv gezählten Flächeninhalten oberhalb der x-Achse und den negativ gezählten Flächeninhalten unterhalb der x-Achse. Geschrieben wird dies:

Man berechnet ein solches bestimmtes Integral, indem man eine Stammfunktion von berechnet und die Differenz bildet. Man schreibt:
Merksatz: "Funktionswert von an der oberen Grenze minus Funktionswert von an der unteren Grenze"
Dieser Zusammenhang beruht auf einem der wichtigsten Sätze zu diesem Thema, nämlich dem Fundamentalsatz der Analysis, auch Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung genannt.

Ganz wichtig: Das bestimmte Integral einer Funktion ist eine Zahl!


Einige Eigenschaften des bestimmten Integrals

• Sind die obere und die untere Integrationsgrenze identisch, hat das bestimmte Integral den Wert :

• Das bestimmte Integral über das ganze Intervall ist gleich der Summe der bestimmten Integrale über Teilintervalle (Achten Sie auf die Integrationsgrenzen!):

• Ist im ganzen Integrationsintervall , so gilt

• Vertauscht man die Integrationsgrenzen, wechselt das bestimmte Integral das Vorzeichen:

Als Grund- oder Stammintegrale bezeichnet man die (unbestimmten) Integrale einiger häufig vorkommender Funktionen. Bitte beachten Sie jeweils die Definitionsbereiche der Funktionen sowie ggf. nötige Einschränkungen!
Die Integrationskonstante sei

Für ganz rationale Funktionen gilt
mit
Bemerkung: Die Integrationsregel ist hier nur für eine sehr einfache ganz rationale Funktion, auch Potenzfunktion genannt, aufgeführt. Mithilfe der Summen- und Faktorregel (siehe unten) funktioniert diese Regel auch für allgemeine ganz rationale Funktionen.

Mithilfe der Potenzgesetze kann diese Regel auch für Wurzelfunktionen und einfache gebrochen rationale Funktionen angewendet werden und gilt nämlich:

und


Achtung: Diese Regel gilt nicht, wenn der Exponent ist, also für die Funktion , da in diesem Fall nämlich ist und durch bekanntermaßen nicht geteilt werden darf. Hier gilt (etwas überraschend):

Bemerkung: Dies ist ein gutes Beispiel dafür, dass sich Integrale manchmal anders "verhalten", als man hätte denken können, und damit, warum hier viel Übung und Erfahrung nötig ist. Der Gedanke, dass das Integral einer ganz rationalen Funktion wieder ein ganz rationale Funktion ist, ist ja durchaus nicht abwegig. In den meisten Fällen stimmt das auch - aber eben nicht immer...

Für Exponentialfunktionen gilt:




Für Logarithmusfunktionen gilt:

Für die Sinusfunktion gilt


Für die Kosinusfunktion gilt

Bei einer komplexeren Funktion gibt es zwei Ansätze: Entweder die Funktion lässt sich durch geeignete Umformungen auf eines der Grundintegral zurückführen oder man versucht mithilfe der hier aufgezeigten Integrationsmethoden weiterzukommen. Allerdings gibt es (wie oben schon gesagt) auch Funktionen, die sich nicht "vernünftig" integrieren lassen.

Zunächst zwei Regeln, deren Pendants Sie schon bei den Ableitungsregeln kennengelernt haben.

Enthält der Integrand einen konstanten Faktor , so kann dieser vor das Integral gezogen werden:

Das Integral einer Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der beiden Funktionen:
Bemerkung: Das gilt natürlich auch für Summen mit mehr als zwei Summanden.


Sozusagen die Umkehrung der Produktregel für das Ableiten ist die

für unbestimmte Integrale:

für bestimmte Integrale:


Auch die Kettenregel hat hier eine Entsprechung, nämlich die

für unbestimmte Integrale: mit und
alternativ:

für bestimmte Integrale: mit und


Ein Sonderfall der Integration durch Substitution ist die

mit für alle

Gesucht sei
Nach der Formel für das Integral von ganz rationalen Funktionen und der Faktorregel gilt


Bemerkung: Man kann sich fragen, warum diese Rechnung kein enthält. Korrekterweise ist ja . Hier die Rechnung mit :

Man stellt fest, dass sich das während der Rechnung aufhebt. Daher wird es in diesem Zusammenhang meist gleich weggelassen.


Alternativer Weg: Zeichnet man die Funktion in ein Koordinatensystem, erkennt man, dass die schraffierte Fläche die Form eines Dreiecks hat:

Die Fläche eines Dreiecks lässt sich aber auch ohne Integralrechnung bestimmen, nämlich
mit : Grundseite und : Höhe auf die Grundseite
In diesem Fall ist und . Daraus ergibt sich

Das ist natürlich kein Beweis dafür, dass die Regel für die Integration von ganz rationalen Funktionen richtig ist (Es hätte uns aber schon verwundern müssen, wenn etwas anderes herausgekommen wäre...). Dies soll nur als kleine Plausibilisierung der Regel dienen sowie als Erinnerung, dass es häufig nicht nur einen Lösungsweg gibt.

Soll anstelle des bestimmten Integrals der Flächeninhalt bestimmt werden, der vom Graphen und der x-Achse in einem bestimmten Intervall eingeschlossen wird, muss man die Funktion vor dem Integrieren ein bisschen genauer anschauen. Hat die Funktion in dem Intervall nämlich Nullstellen (d. h. liegen Teile der zu berechnenden Fläche unterhalb und andere Teile oberhalb der x-Achse), unterscheidet sich der Wert des Integrals von der Größe des Flächeninhalts, weil die Flächen unterhalb der x-Achse ja negativ in den Wert Integrals einfließen. Bei der Berechnung der Fläche als solche zählen sie aber natürlich positiv.


Einfaches Beispiel
Gesucht sei die Fläche, die von der x-Achse und der Funktion im Intervall eingeschlossen wird. Sie ist in der folgenden Grafik schraffiert eingezeichnet.

Die Grafik zeigt: Die Funktionswerte sind im gesamten betrachteten Intervall größer als . Das bedeutet, dass die Größe des Flächeninhaltes und der Wert des bestimmten Integrals gleich sind. Es gibt ja keine Flächen unterhalb der x-Achse, die negativ gezählt werden könnten.

Nach der Formel für das Integral von ganz rationalen Funktionen und die Summen- und Faktorregel gilt

Die Fläche ist also Flächeneinheiten groß.

Bemerkung: So ausführlich wie in dieser Beispielrechnung wird man den Lösungweg sonst nicht aufschreiben...


Etwas schwierigeres Beispiel
Gesucht sei die Fläche, die von der x-Achse und der Funktion im Intervall eingeschlossen wird. In der folgenden Grafik sieht man, dass die Gesamtfläche (schraffiert) in zwei Teilflächen und zerfällt.

Um die Größe der gesamten eingeschlossenen Fläche zu berechnen, muss nun also das Integral an der im Intervall liegenden Nullstelle aufgeteilt werden. Dann werden die Einzelflächen berechnet und anschließend deren Beträge addiert.

Nullstellen berechnen

Da nur die zweite Nullstelle tatsächlich innerhalb der betrachteten Intevalls liegt, ist nur sie gerade interessant.

Zu berechnen ist nun also




Das ergibt für die Gesamtfläche


Bemerkung: Man sieht hier sehr schön, was passieren würde, wenn man die Nullstelle oder die Betragsstriche in der Rechnung ignorieren würde. Für ergäbe sich nämlich , was sicherlich nicht die Größe der schraffierten Fläche ist.

Gesucht sei mit

mit

Bemerkung 1: Die Partielle Integration lohnt sich immer dann, wenn ein Faktor einfach(er) integriert werden kann und das Integral auf der rechten Seite gut zu lösen ist. Deswegen wurde hier gesetzt, weil unkompliziert zu integrieren ist. Außerdem vereinfacht sich das Integral auf der rechten Seite, da beim Ableiten von nur eine stehenbleibt.
Bemerkung 2: Bei der vorletzten Umformung wäre es auch möglich

zu schreiben. Da aber ohnehin eine beliebige reelle Zahl ist, kommt es auf das Vorzeichen hier nicht an.

Gesucht sei mit
Substitutieren wir , ist die Ableitung davon . Durch die Substitution wird nun zu . Wenn wir nach integrieren wollen, muss am Ende des Integrals auch (und nicht ) stehen. lässt sich umformen zu . Aus unserem Integral wird also:

Nun kommt noch die Rücksubstitution, denn die eigentlich Aufgabe war ja das Integral mit der Integrationsvariable zu lösen:


Bemerkung 1: Ziel der Substitution ist es, den Integranden zu vereinfachen. Dazu kann es manchmal nötig sein, eine Substitution zu verwenden, die auf den ersten Blick komplizierter ist.
Bemerkung 2: In diesem Beispiel wurde "nur" ein Spezialfall der Integration durch Substitution gezeigt, nämlich die lineare Substitution. An ihr lässt sich das Prinzip gut verdeutlichen, weil sie ein gutes Stück einfacher ist als Substitutionen im Allgemeinen.
Bemerkung 3: ist eine andere Schreibweise für . Da das , mit dem wir substituieren, von abhängt, können wir auch nach ableiten und das ganze als schreiben.
Bemerkung 4: Die Integration durch Substitution wird immer dann angewendet, wenn ein Faktor des Integranden die Ableitung der inneren Funktion des anderen Faktors ist. Als Faustregel kann gesagt werden: Substitution ist beim Integrieren immer dann angezeigt, wenn man die Kettenregel benutzen würde, um den Term abzuleiten.