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Logistische Funktionen (V)

Logistische Funktionen sind eine Klasse von Funktionen, die ein gehemmtes Wachstum beschreiben. Dabei wird von der Annahme ausgegangen, dass die Ausbreitung des Virus Ressourcen verbraucht, die nur begrenzt verfügbar sind, so dass deren Mangel eine weitere Ausbreitung der Infektion abbremst. Kann die Infektion etwa auf ein bestimmtes Gebiet begrenzt werden, so ist die Zahl der Bewohner dieses Gebietes eine natürliche Obergrenze.für die Zahl der Infektionsfälle, vorausgesetzt, es gibt keine wiederholten Infektionen der selben Personen. 
Diese wenigen Überlegungen deuten schon an, wie komplex das Ausbreitungsgeschehen ist, so dass stets damit gerechnet werden muss dass Modelle durch das Auftreten neuer Faktoren das reale Geschehen nur sehr unvollkommen widerspiegeln. Die Abweichungen des rein exponentiellen Modells von der Realität Anfang Februar 2020 sind ein Beispiel dafür. 
Das logistische Modell, wird durch Funktionen der Form $a\cdot\frac{S}{a+(S-a)*e^{-kSx}}$  beschrieben. Dabei ist $a$ der bekannte Anfangswert bei  $x=0$, $S$ ist eine angenommene Obergrenze, der sich die Zahl der Infizierten asymptotisch annähert und $k$ ist ein Parameter der die Geschwindigkeit dieser Annäherung beschreibt.
Wir merken am Rande an, dass es für logistische Funktionen auch unabhängig vom logistischen Wachstum wichtige Anwendungen gibt. Z.B. ermöglichen logistische Funktionen, die zwischen 0 und $S=1$ variieren, in manchen Situationen Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse. Dies hat auch Anwendungen in der Künstlichen Intelligenz beim Lernen mit neuronalen Netzen.
Im folgenden Video wird das Verhalten der logistischen Funktionen erläutert. Dabei wird $S$ geschrieben, wo es $kS$ heißen müsste.
 
Logistisches Wachstum
Daniel Jung. Logistisches Wachstum (YouTube-Lizenz)