Theorie

Wie kann man es erklären, dass sich das Wachstum der Zahl der gemeldeten Infektionen durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt? Überlegen wir:

Zu einem gegebenen Zeitpunkt x gibt es I(x) Infizierte. Wieviele Infizierte es zum Zeitpunkt x+δ gibt, hängt, neben der Zeitdauer δ von der Zahl der Infizierten zum Zeitpunk x und von der Kontaktrate ab. Die Kontaktrate ist das Produkt aus der Übertragungswahrscheinlichkeit (eine Eigenschaft der Krankheit) und der mittleren Zahl der Kontakte in einem festen Zeitraum (eine soziale Charakteristik). 

Für das exponentielle Modell nehmen wir an, dass dies ein linearer Zusammenhang ist, also $I(x+\delta)=I(x)+k\cdot \delta \cdot I(x)$ und damit $\frac{I(x+\delta)-I(x)}{\delta}=k\cdot I(x)$. Für $\delta \rightarrow 0$ ergibt sich die Differentialgleichung $\dot{I}=k\cdot I$. Die Exponentialfunktionen $I(x)=a e^{kx}$ sind, wie man leicht nachprüft, Lösungen dieser Differentialgleichung. Dabei ist $a=I(0)$.

Um mit einer Exponentialfunktion $ae^{kx}$ zu arbeiten muss man die Parameter $a$ und $k$ bestimmen.