Frage: Modellieren Sie den Tagesgang der Temperatur 𝑇 durch eine Sinusfunktion in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡. Bestimmen Sie die Parameter aus den folgenden Angaben: Um 14:00 Uhr ist die Temperatur mit 24 ° am höchsten. Nachts um 2:00 Uhr ist es mit 7 ° am kältesten.

Antwort (Edge Copilot am 5.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um den Tagesgang der Temperatur ( T ) durch eine Sinusfunktion in Abhängigkeit von der Zeit ( t ) zu modellieren, können wir die gegebenen Informationen verwenden, um die Parameter der Sinusfunktion zu bestimmen. Die allgemeine Form einer Sinusfunktion, die Temperatur über die Zeit modelliert, könnte so aussehen:$T(t) = A \cdot \sin(B(t - C)) + D$.

Hierbei ist:

( A ) die Amplitude, die Hälfte der Temperaturdifferenz zwischen dem höchsten und niedrigsten Wert.
( B ) die Frequenz, die bestimmt, wie oft die Welle innerhalb eines bestimmten Zeitraums schwingt.
( C ) die Phasenverschiebung, die angibt, wann der höchste Temperaturpunkt erreicht wird.
( D ) der Mittelwert der Temperatur, also das Mittel aus dem höchsten und niedrigsten Wert.
Gegeben:

Höchsttemperatur $( T_{max} = 24^\circ C )$ um 14:00 Uhr.
Niedrigste Temperatur $( T_{min} = 7^\circ C )$ um 2:00 Uhr.
Daraus folgt:

Amplitude ( $A = \frac{T_{max} - T_{min}}{2} = \frac{24^\circ C - 7^\circ C}{2} = 8.5^\circ C $).
Mittelwert ( $D = \frac{T_{max} + T_{min}}{2} = \frac{24^\circ C + 7^\circ C}{2} = 15.5^\circ C$ ).
Da die höchste Temperatur um 14:00 Uhr erreicht wird und die Sinuswelle ihren Höhepunkt bei ($ \pi/2$ ) hat, ist die Phasenverschiebung ( C = 14 ) Stunden.
Die Frequenz ( B ) ist etwas komplizierter zu bestimmen, da sie von der Periodendauer der Temperaturschwankungen abhängt. Da ein Tag 24 Stunden hat und die Sinuswelle eine Periode von ( $2\pi$ ) hat, ergibt sich ( $B = \frac{2\pi}{24 \text{ Stunden}}$ ).
Die modellierte Funktion sieht dann so aus:

$$T(t) = 8.5 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{24}(t - 14)\right) + 15.5$$

Hierbei ist ( t ) die Zeit in Stunden. Diese Funktion gibt die Temperatur ( T ) zu jeder Tageszeit ( t ) an. Bitte beachten Sie, dass diese Funktion eine idealisierte Annahme ist und tatsächliche Temperaturschwankungen komplexer sein können.

Diskussion: Wir machen die Probe. Die angegebene Formel ergibt für $t=14$ $T=8.5\cdot\sin(0)+15.5=15.5$ statt des erwarteten Werts 24, den wir als $8.5+15.5$ erhalten würden. Für 2:00 ergibst sich $T=8.5\cdot \sin(- \pi)+15.5=15.5$ statt des erwarteten Wertes 7, der sich als $-8.5+15.5$ ergeben würde. Die Cosinusfunktion hat bei $0$ den Wert 1 und bei $-\pi$ den Wert -1. Deshalb würde die Funktion $$T(t) = 8.5 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{24}(t - 14)\right) + 15.5$$ dem gesuchten Temperaturverlauf entsprechen. 

Da $\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ ist, beschreibt die Sinusfunktion $$T(t)=8.5 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{24}(t - 14)+\frac{\pi}{2}\right) + 15.5$$ die selbe Lösung.