Frage: Ein pharmazeutisches Unternehmen möchte eine große Lieferung Ibuprofen Tabletten mit folgendem Stichprobenverfahren auf Brauchbarkeit prüfen:

Es werden zufällig 30 Tabletten ausgewählt und getestet. Die Stichprobe wird akzeptiert, wenn maximal eine Tablette nicht den Anforderung entspricht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung akzeptiert, wenn sie einen tatsächlichen Anteil von 3% fehlerhafter Tabletten enthält?

Antwort (Edge Copilot am 20.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um diese Frage zu beantworten, können wir die Binomialverteilung verwenden. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit.

In diesem Fall ist ein “Erfolg” definiert als das Finden einer fehlerhaften Tablette. Wir haben 30 unabhängige Experimente (die 30 getesteten Tabletten), und die Wahrscheinlichkeit eines “Erfolgs” ist 3% oder 0,03.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Erfolge in n Versuchen auftreten, wird durch die Formel der Binomialverteilung gegeben:

$$P(X=k) = C(n, k) * (p^k) * ((1-p)^{n-k})$$

wobei:

P(X=k) die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau k Erfolge auftreten,
C(n, k) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen, die k Elemente enthalten,
p die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs,
n die Anzahl der Versuche und
k die Anzahl der Erfolge ist.
In diesem Fall möchten wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass maximal eine Tablette fehlerhaft ist. Das bedeutet, wir müssen die Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 fehlerhafte Tablette addieren:

P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)

Setzen Sie die gegebenen Werte in die Formel ein und berechnen Sie die Summe, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Beachten Sie, dass diese Berechnung unter der Annahme erfolgt, dass die Auswahl der Tabletten unabhängig ist und die Wahrscheinlichkeit, eine fehlerhafte Tablette zu finden, konstant bleibt.

Prompt: Berechne die Wahrscheinlichkeit.

Antwort: ...  Sie können diese Berechnung mit einem Taschenrechner oder einer Software wie R oder Python durchführen.

Prompt: Berechne die numerischen Werte der Wahrscheinlichkeiten.

Antwort: 

Um die numerischen Werte der Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir die Formel der Binomialverteilung und setzen die gegebenen Werte ein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Tablette fehlerhaft ist (k=0):
$$P(X=0) = C(30, 0) * (0,03^0) * ((1-0,03)^{30-0})$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Tablette fehlerhaft ist (k=1):
$$P(X=1) = C(30, 1) * (0,03^1) * ((1-0,03)^{30-1})$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten:
$$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$$

Berechnen wir nun die numerischen Werte:

Für P(X=0):
$$P(X=0) = C(30, 0) * (0,03^0) * ((1-0,03)^{30-0}) = 1 * 1 * (0,97)^{30} \approx 0,214$$

Für P(X=1):
$$P(X=1) = C(30, 1) * (0,03^1) * ((1-0,03)^{30-1}) = 30 * 0,03 * (0,97)^{29} \approx 0,411$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten:
$$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,214 + 0,411 = 0,625$$

Daher wird die Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 62,5% akzeptiert, wenn sie einen tatsächlichen Anteil von 3% fehlerhafter Tabletten enthält. Bitte beachten Sie, dass diese Berechnung unter der Annahme erfolgt, dass die Auswahl der Tabletten unabhängig ist und die Wahrscheinlichkeit, eine fehlerhafte Tablette zu finden, konstant bleibt.

Diskussion: Der Ansatz der KI ist richtig, aber die Berechnungen sind fehlerhaft. Berechnet man die von der KI angegebenen Formeln mit Sage, so erhält man $P(X=0)\approx 0.4010$, $P(X=1) \approx 0.3721$ und damit die richtige Antwort $P(X\leq 1) \approx 0.7731$.Der von der KI berechnete Wert ist also deutlich zu klein.