Frage: Bei einer Geburtstagsparty mit 7 Mädchen und 3 Jungen erhält jedes Kind ein Stück Kuchen. Es gibt 5 Sorten zur Wahl. Die Kinder wählen nacheinander ein Stück Kuchen, wobei jedes Kind eine andere Sorte wählt als sein Vorgänger. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung von Kuchensorten gibt es?

Antwort (Edge Copilot am 17.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns auf die Prinzipien der Kombinatorik beziehen. Da jedes Kind eine andere Sorte wählt als sein Vorgänger, handelt es sich um eine Permutation mit Wiederholung.

Da es 5 Sorten Kuchen gibt und jedes der 10 Kinder eine Sorte wählen kann, haben wir 5 Möglichkeiten für das erste Kind. Da das nächste Kind eine andere Sorte wählen muss, hat es nur 4 Möglichkeiten. ⇒ Das dritte Kind kann dann wieder aus 5 Möglichkeiten wählen ⇐, da es die Sorte wählen kann, die das erste Kind gewählt hat, und so weiter.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten der Verteilung von Kuchensorten:

$$5 \times 4 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4 = 5^5 \times 4^5 = 1,280,000,000$$

Es gibt also 1,280,000,000 Möglichkeiten, die Kuchensorten zu verteilen. Bitte beachten Sie, dass diese Berechnung davon ausgeht, dass es immer genug Kuchen jeder Sorte für jedes Kind gibt.

Diskussion: In diesem Beispiel ist bereits der Ansatz der KI falsch - sie berücksichtigt an der rot markierten Stelle nicht, dass das dritte Kind nicht die Kuchensorte wählen kann, die das zweite Kind gewählt hat.

Außerdem ist die Rechnung falsch, denn (wie man auch ohne Taschenrechner leicht sieht) ist $$5^5\times 4^5=20^5=2^5\times 10^5=32\times 10^5=3,200,000$$ - ein Wert der offenbar viel kleiner als der angegebene Wert ist.