Frage: Berechne einen Wendepunkt der Funktion $x\sqrt{x^2+1}$ für $-7 \leq x \leq 4$.

Antwort (Edge Copilot am 6,5.2024): Die Antwort ist unvollständig und teilweise falsch.

Um den Wendepunkt der Funktion

$f(x) = x\sqrt{x^2+1}$​

zu berechnen, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich Null setzen, um die möglichen Wendepunkte zu finden. 

Die Ableitung der Funktion ist:

$f'(x) = \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}$​

Die zweite Ableitung der Funktion ist:

$f''(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x^2}{(x^2+1)^\frac{3}{2}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{x^4}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}$​

Setzen wir diese gleich Null, um die möglichen Wendepunkte zu finden:

$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x^2}{(x^2+1)^\frac{3}{2}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{x^4}{(x^2+1)^\frac{3}{2}} = 0$

⇒ Diese Gleichung ist nicht trivial zu lösen. ⇐ Es könnte hilfreich sein, numerische Methoden oder spezialisierte Software zu verwenden, um die Lösungen zu finden.

Bitte beachten Sie, dass die Lösungen innerhalb des gegebenen Intervalls

$-7 \leq x \leq 4$

liegen müssen, um als Wendepunkte für diesen speziellen Fall in Betracht gezogen zu werden. Nachdem die x-Werte der Wendepunkte gefunden wurden, können die entsprechenden y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ gefunden werden. 

Bitte beachten Sie auch, dass ein Wendepunkt nur dann existiert, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle von positiv zu negativ wechselt (oder umgekehrt). Daher ist es notwendig, das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf beiden Seiten jedes kritischen Punktes zu überprüfen.

Diese Analyse basiert auf der Annahme, dass die Funktion auf dem gesamten reellen Zahlenbereich definiert ist. Wenn die Funktion auf einem bestimmten Intervall definiert ist, könnten die Endpunkte dieses Intervalls Wendepunkte sein. In diesem Fall müssten Sie die Funktionswerte an diesen Punkten berechnen.

Diskussion: Es ist hilfreich, sich zunächst einen Überblick über den Verlauf der Funktion im Intervall $[-7,4]$ zu verschaffen. Daran sieht man, dass ein Wendepunkt bei $x=0$ zu erwarten ist.

Das Vorgehen der KI ist folgerichtig und kann mit Sage überprüft werden. Für die erste Ableitung liefert die KI den selben Ausdruck wie Sage. Für die 2. Ableitung liefert Sage jedoch $f''(x)=-\frac{x^3}{(x^2 + 1)^{3/2}} + 3\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Dass die von der KI angegebene zweite Ableitung nicht plausibel ist kann man mit einigem Aufwand feststellen, wenn man deren Verhalten und das der ersten Ableitung für große Werte von $x$ abschätzt.

Unabhängig davon ist jedoch zu bemerken, dass die KI in dem mit ⇒ ... ⇐ markierten Satz meint, dass die Nullstellen der zweiten Ableitung schwer zu berechnen seien, obwohl leicht zu erkennen ist, dass auch für die von der KI berechnete zweite Ableitung bei 0 den Wert 0 liefert.