Frage:Sind die Vektoren $v_1=(3,-3,3)$, $v_2=(-2,7,-4)$, $v_3=(4,1,2)$ linear unabhängig?

Antwort (Edge Copilot am 12.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um zu überprüfen, ob die Vektoren $v_1=(3,-3,3)$, $v_2=(-2,7,-4)$ und $v_3=(4,1,2)$ linear unabhängig sind, können wir eine Determinante mit diesen Vektoren als Zeilen oder Spalten bilden und berechnen. Wenn die Determinante ungleich Null ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig. 

Die Determinante sieht so aus:

$$\begin{vmatrix}
3 & -3 & 3 \\
-2 & 7 & -4 \\
4 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}​$$​​

Wir können diese Determinante berechnen, um zu überprüfen, ob sie ungleich Null ist. Wenn sie ungleich Null ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Andernfalls, wenn die Determinante gleich Null ist, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Bitte beachten Sie, dass Sie einen Taschenrechner oder ein Computerprogramm verwenden können, um diese Berechnung durchzuführen.

Prompt: Berechne die Determinante.

Antwort:

Um die Determinante der Matrix zu berechnen, verwenden wir die Regel von Sarrus. Die Regel von Sarrus ist eine Methode zur Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix. Sie lautet:

$$\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

In unserem Fall haben wir:

$$\begin{vmatrix}
3 & -3 & 3 \\
-2 & 7 & -4 \\
4 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
= 3*7*2 + (-3)*(-4)*4 + 3*(-2)*1 - 3*7*4 - (-3)*(-2)*2 - 3*1*(-4)​$$

Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir:

$$= 42 + 48 - 6 - 84 + 12 + 12 = 30$$

Da die Determinante ungleich Null ist $(30 ≠ 0)$, sind die Vektoren $v_1=(3,-3,3)$, $v_2=(-2,7,-4)$ und $v_3=(4,1,2)$ linear unabhängig. 

Diskussion: Die KI verwendet hier Determinanten, die in diesem Kurs nicht behandelt wurden. Um das Ergebnis zu überprüfen kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen und mit Sage lösen. Man kann mit Sage auch die drei Vektoren grafisch darstellen und wird dabei sehen, dass sie in einer Ebene liegen - also nicht unabhängig sind.

Überprüft man den Lösungsweg der KI, so findet man an der rot markierten Stelle die falsche Berechnung $- (-3)*(-2)*2=+12$ statt $-12$, was für den Wert der Determinante $0$ ergeben würde.

Durch geeignete Prompts kann man die KI veranlassen, statt der Verwendung von Determinanten ein Gleichungssystem aufzustellen, dessen Lösungsmenge Auskunft über die lineare Unabhängigkeit der Vektoren gibt. Jedoch ergab die Aufforderung, das System zu lösen die folgende Antwort:

Um die genaue Anzahl der Lösungen zu bestimmen, müssten wir das Gleichungssystem tatsächlich lösen oder eine Methode wie die Rangbestimmung der Koeffizientenmatrix verwenden. Diese Methoden gehen jedoch über den Rahmen dieser Diskussion hinaus. Es wird empfohlen, einen Mathematiklehrer oder -tutor zu konsultieren oder eine spezialisierte Software oder einen Online-Rechner zu verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen.