Frage:: Ein Kreisbogen zum Winkel 38 Grad hat einen Flächeninhalt von ungefähr 11.94 cm². Wie groß ist der Radius (ganze Zahl)?

Antwort (Edge Copilot am 5.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um den Radius zu berechnen, können wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors verwenden:

$$A = \frac{r^2 \cdot \theta}{2}$$​

Dabei ist:

( A ) der Flächeninhalt des Kreissektors,
( r ) der Radius des Kreises,
( $\theta$ ) der zentrale Winkel in Radiant.
In Ihrem Fall ist der Flächeninhalt $A = 11.94 , \text{cm}^2$ und der Winkel $\theta = 38^\circ$. Da die Formel den Winkel in Radiant erfordert, müssen wir den Winkel von Grad in Radiant umrechnen:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{\theta_{\text{deg}} \cdot \pi}{180} = \frac{38 \cdot \pi}{180}$$​

Setzen wir nun die Werte in die Formel ein und lösen nach ( r ) auf:

$$r = \sqrt{\frac{2A}{\theta_{\text{rad}}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 11.94}{\frac{38 \cdot \pi}{180}}}$$​​

Bitte beachten Sie, dass das Ergebnis gerundet werden muss, da nach einer ganzen Zahl gefragt wurde.

Prompt: Berechne das.

Antwort: Um den Radius zu berechnen, setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

$$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 11.94}{\frac{38 \cdot \pi}{180}}}$$​​

Wenn wir das berechnen, erhalten wir den Radius ( r ) als Dezimalzahl. Da Sie nach einer ganzen Zahl gefragt haben, runden wir das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl.

Lassen Sie uns das berechnen: ⇒ $r = \sqrt{\frac{2 \cdot 11.94}{\frac{38 \cdot \pi}{180}}} \approx 5$ ⇐.

Daher ist der Radius des Kreises ungefähr 5 cm. Bitte beachten Sie, dass dies eine gerundete Zahl ist und die tatsächliche Zahl eine Dezimalzahl sein könnte.

Diskussion: Der Umweg über das Bogenmaß ist unnötig; man kann den Winkel als $\alpha$ direkt im Gradmaß verwenden mit der Formel $$A=\frac{r^2\alpha\pi}{360}.$$ Verwendet man diese Formel mit Sage oder einem Taschenrechner  für $r=5, \alpha=38$ um die Probe zu machen, so ergibt sich $A\approx 8.3$. Dies ist deutlich kleiner als der erwartete Wert von 11.94. Die Lösung dürfte also größer als 5 sein. In der Tat ergibt sich mit $r=6$ aus dieser Formel $A\approx 11.94$ als richtige Antwort.

Rechnet man die von der KI angegebene (ebenfalls korrekte) Formel mit Sage aus, so ergibt sich $r\approx 6.000489$ - die KI hat also an der mit ⇒ ... ⇐ markierten Stelle falsch gerundet.