Frage: Löse die folgende Ungleichung und gib dein Ergebnis in Intervallschreibweise an: $\frac{(x-2)\cdot(x+5)}{(x-8)^2}\geq 0$.

Antwort (Edge Copilot am 4.5.2024): Die Antwort ist falsch.

Um diese Ungleichung zu lösen, müssen wir zuerst die Nullstellen der Funktion im Zähler und Nenner finden. Die Nullstellen sind die Werte von $x$, für die der Zähler oder der Nenner null wird.

Die Nullstellen des Zählers $(x-2)\cdot(x+5)$ sind $x=2$ und $x=-5$.

Die Nullstelle des Nenners $(x-8)^2$ ist $x=8$.

Jetzt teilen wir die Zahlengerade in Intervalle auf, die durch diese Nullstellen begrenzt werden. Das ergibt die Intervalle $(-\infty, -5)$, $(-5, 2)$, $(2, 8)$und $(8, \infty)$.

Um herauszufinden, welche dieser Intervalle die Lösung der Ungleichung sind, wählen wir einen Testpunkt aus jedem Intervall und setzen ihn in die Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr ist, gehört das Intervall zur Lösung.

Für $x < -5$ (z.B. $x=-6$) ist die Ungleichung wahr. Für $-5 < x < 2$ (z.B. $x=0$) ist die Ungleichung falsch. Für $2 < x < 8$ (z.B. $x=3$) ist die Ungleichung wahr. ⇒ Für $x>8$ (z.B. $x=9$) ist die Ungleichung falsch. ⇐

Da die Ungleichung $\geq 0$ ist, gehören auch die Nullstellen zur Lösung.

Daher ist die Lösung der Ungleichung in Intervallschreibweise:

$$(-\infty, -5] \cup [2, 8)$$

Diskussion: Analysieren wir die Antwort der KI! Das Vorgehen der KI zur Lösung der Ungleichung ist richtig. Auch die Nullstellen von Zähler und Nenner wurden richtig bestimmt. In dem mit ⇒ ... ⇐ gekennzeichneten Satz wird aber das Vorzeichen des Bruches für $x=9$ falsch bestimmt - der Bruch ist positiv, da alle seine Bestandteile positiv sind. Die richtige Antwort ist$$(-\infty, -5] \cup [2, 8) \cup (8,\infty)$$